[国际彩票主页]蒙特卡洛法概述——概念、起源、思维方式、应用、特征、计算程序、算例和文献资料( 21k )

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原题:蒙特卡罗法概述——概念、起源、思维方式、应用、特征、计算程序、算例和文献资料( 21k )。

数据简化DataSimp读取:蒙特卡罗( Monte Carlo )法也称为随机仿真法,是基于“随机数”的近似计算法。 概述了蒙特卡罗法( Monte Carlo Method )的概念、起源、思路、应用、特征、计算程序、算例和文献资料。 文末有20篇延申读文献资料,可用于后续学习。 关键词:蒙特卡罗/蒙特卡罗、蒙特卡罗法/蒙特卡罗法、随机模拟、随机计算、计算、模拟。

目录

蒙特卡洛法概述( 18k字)

一、蒙特卡洛( Monte Carlo )方法介绍

二、蒙特卡洛法的起源

三、蒙特卡洛法( Monte CarloMethod )解决问题的思考

四、蒙特卡洛法( Monte CarloMethod )的计算程序

五、蒙特卡洛法( Monte Carlo Method )计算编程示例

六、蒙特卡洛法( Monte CarloMethod )文献资料

素材( 1690字)

蒙特卡洛法概述——概念、起源、思维方式、应用、特征、计算程序、算例和文献资料

文|秦龙纪,数据简化DataSimp©20190703Wed

二十世纪四十年代( 1940s )中期,随着科学技术的发展和电子计算机的发明,产生了指导概率统计理论的非常重要的数值计算方法,使用随机数(或容易实现的伪随机数)解决了许多计算问题的蒙特卡罗( Monte Carlo )方法。 被称为蒙特卡罗法/蒙特卡罗法、统计仿真法(随机仿真法),是非确定性算法,与之相对应的是确定性算法。 其原理是大量随机样本可理解系统且得到计算的值

图2 :蒙特卡罗程序模块概述

蒙特卡洛法( Monte Carlo Method )又称计算机随机模拟法,是基于“随机数”的算法,是一种随机法的总称。 所述方法的特征在于可通过随机取样来计算近似结果,虽然随着经取样的数目增加而获得正确结果的概率增加,但直到获得真实结果为止(放弃随机取样且采用例如全部取样的确定方法)

1946年,美国拉斯阿摩斯国立研究所( Los Alamos National Lab )的三位科学家约翰·冯·诺伊曼、Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明,被称为蒙特卡罗法。 具体的定义是,在广场上画一边长一米的正方形,在正方形内部用粉笔画出不规则的形状,现在计算出这个不规则的图形的面积,蒙特卡罗法将N(N是大自然数)个大豆均匀地撒在这个正方形内,然后数出这个不规则的几何形状内部有多少大豆,例如有m个 这里假设豆子都在平面上,彼此不重叠。

举个例子,在具有10000个整数的集合中,求其中的位数,可以从中提取m&lt的10000个个数将它们的中值近似视为该集合的中值。 随着m的增大,近似结果为最终结果的概率也增大,但是只要不横穿整个集合,就不知道近似结果是否为真的结果。

在另一个例子中,常数n可以要求是否为素数,在选择的小于m个n的素数中,看是否有能被n整除的素数,否则判定为素数。 这与一般所见的蒙特卡罗的例子不同,近似结果往往更加错误,但随着m变大,近似结果为最终结果的概率也变大。

蒙特卡罗法和另一种方法,拉斯维加斯法

2.1世界着名赌城蒙特卡罗

蒙特卡罗是多义词(共计3个义项):随机模拟方法摩纳哥公国城市▪2011年托马斯·贝斯查导演的美国电影。 首先,让我们简单地了解以赌博为生的摩纳哥公国及其最大城市蒙特卡罗。

在欧洲,从挪威到荷兰、从英国到丹麦,虽然不是君主制国家,但在君主制时代,这些国家的帝王们没有实权。 在摩纳哥,欧洲唯一拥有实权王室,是这个极其发达的小国,王权最高,这里的大小事情几乎都得到王子的许可才能执行。 但摩纳哥的传说并不仅限于此,1899年至1910年在位公爵阿尔贝一世是优秀的航海家,将赌场的巨额收入用于海洋科学研究,组织了28次海洋调查,1910年建成了世界着名的海洋博物馆。 被称为“赌博之国”“口袋之国”“邮票小国”的摩纳哥公国,位于欧洲地中海的海滨、法国的东南部,属于狭小的地区。 蒙特卡罗的赌博业、海洋博物馆的奇观、格雷斯王妃的嫁妆,给这个小国增加了许多传说性的色彩,作为世界上人口最稠密的国家,摩纳哥在仅1.95平方公里的国土上聚集了3.3万人口,可以说是狭小的人口。 但是,相对于法国,摩纳哥的地区很少,在法国的地图上,这个国家就像误滴在法国地图上的墨水一样,小到不太引人注目。

蒙特卡罗( Monte Carlo )是摩纳哥公国的象征、最大城市、世界闻名的三座赌城之一(美国超级赌城拉斯维加斯、东方拉斯维加斯中澳)。 1856年,查尔斯三世王子为了消除财政危机,在旧市区的北侧岬开设了第一家赌场,后代为了纪念他,将这个地区命名为蒙特卡罗。 在这个小精致的城市里,拥有世界闻名的赌场,赌博的馀韵在豪华的歌剧院里听歌剧,也可以在明亮的沙滩上做日光浴。 蒙特卡洛的大赌场、沙滩俱乐部、体育俱乐部、高尔夫俱乐部乡村俱乐部和歌剧院都是世界一流的。 赌博业的收入占该国年总收入的70%以上,但至今仍维持在40%左右。 同时旅游业和房地产业也蓬勃发展,近年形成了“寸土寸金”局面,土地平方米价格竟然达到8万到10万法国法郎,平均房价达到每平方英尺4420美元。 ( 1平方英尺≈0.09290304平方米,蒙特卡罗房价约32万元/平方米)。 每年来这趟旅行的赌客总有二十多万人。 蒙特卡罗也获得了“世界赌博城”的称号。

建于1863年的蒙特卡罗赌场,是古色古香耸立的宫殿式建筑物,加上山明水秀、富丽堂皇,将游客带到门前,带着好感蒙特卡罗的缩影。 但根据摩纳哥法律,国内人士没有参加赌博,游客在护照上交十法郎成为一天的会员,可以凭此证进入赌场。 赌场上铺满了红地毯,有一个适合歌剧表演的大舞台,另一扇门一进入大厅,就是着名的赌场,服务员穿着整齐的礼服,气氛不一样。 赌场以轮盘为中心,赌注很小,桌子上的小费就会传来搬家的声音,想象财富总有一天会从天而降,其经验和感觉强烈地吸引着世界赌徒。 这里的酒店房间号码、早餐盘子、装牛奶的杯子、集邮簿等都是赌博工具。 1967年,赌场被政府劫持,直到上个月底,赌场依照“大轮盘赌”不分昼夜飞行。 年收入超过了四千万法国法郎。

现代统计模拟方法最初由数学家乌兰提出,被Metropolis (美多普利斯)命名为蒙特卡罗法,蒙特卡罗是着名的赌场,赌博经常与统计密切相关,因此命名很有趣,很快就被广泛接受。 据说费米以前就被用于实验,但没有发表。 乌拉姆( Stanislaw Marcin Ulam )是波兰裔美国人数学家,年轻时研究拓扑学,参加曼哈顿的项目后,兴趣转向应用数学,他用蒙特卡罗法解决了数学问题, 然后提出应用于解决连锁反应理论的美国洛斯阿拉莫斯国家实验室( Los Alamos NationalLab )研究裂变材料中子连锁反应时,开始使用统计模拟的方法,在最初的计算机上编程实现的是蒙特卡罗法的创始人 意大利裔美国人恩里科·费米( Enrico Fermi )是物理性的牛,理论和实验都是牛,这在物理界是罕见的,但是在英年的早世。 约翰·冯·诺伊曼(约翰·冯·诺伊曼)是计算机界的牛顿,发明了计算机硬件有名的冯·诺伊曼框架也很厉害。 最后和Fermi一样早逝(被上帝嫉妒而死)。 尼古拉斯·梅托普利斯( Nicholas Metropolis )是希腊裔美国人数学家、物理学家、计算机科学家,对蒙特卡罗法的贡献相当大,1953年他与其他人一起提出了模拟退火算法( SimulatedAnnealing ), Monte Carlo法得到广泛应用,Metropolis一生的主要贡献是Monte Carlo法,他非常特异的硕士毕业于BSC(1937 )和phd(1941 )博士,出生于born:jun 11,1915,Chicago,IL,died:oct17

蒙特卡洛法的基本思想自古就被发现和利用。 在这四人发明现代统计模拟方法、蒙特卡罗方法之前,已经存在与蒙特卡罗方法相似的算法。 在17世纪,人们知道根据事件的“频度”来决定事件的“概率”。 蒙特卡罗方法的起源可以追溯到18世纪,布丰当时用来计算π的着名注射实验是蒙特卡罗模拟。 【例1】1777年,法国数学家布丰( georgeslouleclereduffion,1707-1788 )用投球实验的方法求出圆周率π,共计2212次,与直线相交的是704次,2212÷704≈30142,得到的数值是圆周率π的近似值,然后

请注意,由于函数( 1,1 )点的值为1,因此整个红色区域位于面积为1的正方形中。 求出的区域的面积在正方形区域内取点,是落入求出点的区域的概率。 此限制条件为y&lt,即x^2。 用matlab进行模拟,100万次(即取1000000分),结果为0.3328。

3.1蒙特卡洛基本思想

在解决的问题是随机事件(例如,随机事件a )发生的概率或随机变量(例如,随机变量b )的期望值的情况下,以某种“实验”方式,在该事件(例如,随机事件a )发生的频率,该随机事件(例如 通过估计声音的概率或者获得随机变量(例如随机变量b )的若干数值特征( b的期望值)作为问题的解答。 蒙特卡罗方法的解题过程可概括为三个主要步骤(工作过程) :建立各种估计,以实现从已知概率分布中采样的概率过程。

3.2蒙特卡洛法求解的三个主要步骤

(1)建立或描述概率过程:

对于其本身具有随机性质的问题,例如粒子传输问题,主要是通过正确描述和模拟这个概率过程,计算本来不是随机性质的确定性问题,例如确定性积分,必须事先构建人的概率过程,这些参数正好是所要求的问题 也就是说,把不具有随机性质的问题变成随机性质的问题。

(2)实现从已知概率分布中抽样

在构筑概率模型之后,可以看作各种概率模型由各种概率分布构成,因此产生已知的概率分布的概率变量(或概率矢量),成为实现蒙特卡罗方法的模拟的基本手段,蒙特卡罗方法被称为概率采样的原因以及 最简单、最基本、最重要的概率分布是( 0,1 )上的均匀分布(或矩形分布)。 随机数是具有这种均匀分布的随机变量。 随机数序列是整个具有这种分布的简单形式,即彼此独立的具有这种分布的随机变量序列。 随机数产生的问题是从该分布中采样的问题。 计算机可以用物理方法产生随机数,但价格高,不能重复,不易使用。 另一种方法产生于数学递归公式。 以此方式生成的序列不同于真随机数序列,因此,它们被称为伪随机数或伪随机数序列。 但是,通过各种统计验证已经证明它具有真随机数或者接近于随机数序列的性质,所以它可以被用作真随机数。 有各种方法从已知的分布中进行随机取样,而从( 0,1 )开始均匀地进行取样不同,假定所有这些方法都是由随机序列实现的,即,产生随机数。 因此随机数是实现蒙特卡罗仿真的基本工具。

(3)编制各种估计量

一般来说,在建立概率模型以使其能够在其中进行采样后、在实现仿真后确定随机变量并将其作为所需问题的解称为无偏差估计。 建立各种估计量相当于考察并登记模拟结果,从中得到问题的解答。

例如,【例3】检查产品良品率的问题在于,我们可以用1表示良品,用0表示不良品,因此可以对每个产品定义以下的随机变量Ti,作为良品率的估计量,Ti={1,良品率为2,不良品,因此,在n次实验后,正品的个数为n=Σ(i=1 to n)Ti 显然,纯正率p是p ̄p≈{n/N-1/N×

【例4】从表中可以看出,到公元20世纪初期,虽然实验次数为千次,但是蒙特卡罗法得到的圆周率π的值还没有达到公元5世纪祖先冲突的推测精度。 这可能是传统蒙特卡罗法长期不普及的主要原因。

随着计算机技术的发展,蒙特卡罗方法在近十年来迅速普及。 现代的蒙特卡罗法,不需要自己做实验,利用计算机的高速运行能力,原本很费事的实验过程变得迅速简单了。 这不仅是为了解决许多复杂的科学问题,也经常被项目管理者使用。

利用计算机技术,蒙特卡罗法实现了两个优点

一个简单,通过省去复杂的数学导出和运算过程,一般人也能理解和把握

第二,快。 简单快捷,是蒙特卡罗法应用于现代项目管理的技术基础。

蒙特卡罗方法具有很强的适应性,问题的几何形状复杂性对其影响不大。 该方法的收敛性是概率性意义上的收敛,因此问题维数的增加不影响收敛速度,并且节约存储单元,这是该方法处理大型复杂问题时的优点。 因此,随着电子计算机的发展和科学技术问题的复杂化,蒙特卡罗法的应用也越来越广泛。 它不仅很好地解决了多重积分计算、微分方程计算、积分方程计算、特征值计算和非线性方程计算等高度难度和复杂的数学计算问题,还在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学、可靠性和计算机科学等广泛领域取得了成功。

四、蒙特卡洛法( MonteCarlo Method )的计算程序

蒙特卡洛法是数学思想,不是具体的软件或算法。 为此,科研机构开发了不同领域的MC法相关计算程序。 蒙特卡罗方法的计算程序已有很多,如EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。 以下列举的这些蒙特卡罗法,核科学中放射性粒子输送模拟的应用软件很多。 这些方案多经过多年的发展,耗费了数百人的工作量。 欧洲核研究中心( CERN )发布的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子轨迹模拟,其他程序深入低能区域,得到广泛应用。 在电子和光子输送的模拟中,这些程序分为以下2个系列

1.EGS4、FLUKA、GRANT

2.ETRAN、ITS、MCNP

这两个系列的不同之处在于,电子传输过程的模拟根据理论采用了不同的算法。

EGS4和ETRAN分别是两个系列的基础,其他程序采用核心算法。

ETRAN(for ElectronTransport )由美国国家标准局辐射研究中心开发,主要模拟光子和电子,能量范围可从1KeV到1KeV。

theintegrationtegrationseriesofcoupledelectron/photonmontecarltransportcodes ( its )是美国圣地亚哥( Sandia )国家实验室基于ETRAN开发的一系列模拟

TIGER研究的是一维多层问题,CYLTRAN研究的是粒子在圆柱介质中的运输问题,ACCEPT是解决粒子在三维空间中运输的共同过程。

ncnp ( montecarlneutronandphototransportcode )是美国橡树林国家研究所( Oak Ridge NationalLaboratory )开发的模拟中子、光子和电子在物质中输送过程的通用MC计算程序, 其早期版本不包括电子传输过程模拟,只模拟中子和光子,新版本(如MCNP4A )引入了ETRAN,参与了电子模拟。

FLUKA是一种含有中子、电子、光子、质子等30多种粒子的大型MC计算程序,收容EGS4完成了光子和电子传输过程的仿真,改进了低能量电子的传输算法。

五、蒙特卡洛法( MonteCarlo Method )计算编程示例

小时候,在课外书中学过计算pi值的算法,使用长度为2r的小棒,行间随机投入r的信纸,计算棒和线的交点,除以掉落的次数得到pi的近似值,使用了MC法。 这是布丰投针实验,以概率论的发展史而闻名。 从简单的几何概况的知识可以看出,将半径r/pi的圆随机放置在行间隔r的等间隔平行线的组之间,圆和平行线有共同点的概率为2/pi。 布丰的想法是,布丰把这个圆从中间切成直线后,这个线段和平行线有两个共同点的概率不变,还是2/pi可以简单理解。 为了清楚起见,这条线的长度是2r。 进行了很多“投针”实验后,该线段与平行线有共同点的概率,可以近似于实验中的线段与平行线有共同点的次数除以总投针次数。 简单的运算之后,总针数除以实验中的线段和平行线有共同点的次数得到的结果就是pi/2的近似值。

接着,以下5个例子介绍蒙特卡罗法( Monte Carlo Method )。

4.1 π的计算

第一个例子是【例5】使用蒙特卡罗法计算圆周率π的方法。

【解】有与正方形内部相接的圆,其面积之比为π/4。

现在,在该正方形内部,随机生成10000点,即10000点的坐标对( x,y ),计算它们与中心点的距离,判断是否落在圆的内部。

如果这些点均匀分布,圆内的点应该占据所有点的π/4,因此该比乘以4为π的值。 在r语言脚本中随机模拟30000点时,π的估计值与真实值相差0.07%。

用py和c的各编程计算的话,每次在3.7误差太大。 我的方法取两个0-1随机数,( x,y )是第一象限,四分之一圆弧,面积是pi*1*1/4,正方形面积是1*1,比率也是pi/4。 要执行以下操作:

#! /usr/bin/env python

#-* -编码: utf-8-* -

从random导入随机

来自math导入sqrt

x = y = inn = out = 0.0

for i in range(30000 ) :

x = random

y = random

打印( x,y )

if (sqrt(x * x + y * y) inn += 1.0

else :

out += 1.0

打印( inn/out )

【解析】print(inn / out )应为print(4*inn/30000 )。 你这确实有问题。 不是均匀分布,而是使用random.uniform均匀分布。 即使是统一也难以达到3.1*********。 这显然是代码的写错误,inn除总数30000以外再乘以4就是pi。

#! /usr/bin/env python

#-* -编码: utf-8-* -

从random导入随机

来自math导入sqrt

x = y = inn = out = 0.0

for i in range(30000 ) :

x = random

y = random

打印( x,y )

if (sqrt(x * x + y * y )

inn += 1.0

else :

out += 1.0

打印( inn/out )

import numpy as np

import random

n = 10000

r = 1.0

data =

例如,若计算函数y=x2的区间内的积分,则求出下图的红色部分的面积。

0

【解】由于该函数在( 1,1 )点取1,因此红色区域整体处于面积为1的正方形中。 在该正方形内部产生多个随机点,能够计算出多少点落入红色区域(判断条件y< x2 )。 这个比重是所要求的积分值。 用Matlab模拟了100万个随机点,结果为0.3328。

4.3交通堵塞

蒙特卡罗方法不仅可用于计算,还可用于模拟系统内部的随机运动。 下面的例子模拟自行车道的交通堵塞。

【例7】根据nagilschreckenberg模型,车辆的运动满足以下规则:

目前的速度是v。

当前没有车的话,下一秒的速度会上升到v+1,达到规定的最高限制速度。

如果前面有车,距离是d,d< v,下一秒减速到d-1。

另外,司机以概率p随机减速,将下一秒的速度降低到v-1。

【解】在一条直线上随机产生100个点,代表道路上的100辆车,其他概率p为0.3。

在上面的图中,横轴表示距离(从左到右),纵轴表示时间(从上到下),因此各行表示下一秒的道路状况。 可以看出,该模型随机发生堵塞(图表上的黑色部分聚集)。 这证明自行车道无任何原因都会发生堵车。 【疑问】堵车这个例子好像和蒙特卡罗没什么关系呢。纳什模型模拟用的是元胞自动机模型,随机制动概率是一定的p。

4.4产品厚度

【例8】某产品由8个部件重叠构成。 也就是说,这八个部件的总厚度等于其产品的厚度。

我们知道这个产品的厚度必须控制在27mm以内,但是每个零件都有一定的概率,厚度会超过误差。 产品厚度有多大概率超过27毫米?

【解】取100万个随机样品,每个样品有8个值,与8个部件各自的厚度相对应。 据计算,产品合格率为99.9979%,有百万分之21的概率,厚度超过27mm。

4.5证券市场

证券市场既有交易活跃的情况,也有交易冷清的情况。 你对市场的预测如下所示。

【例9】交易冷却后,以平均价格11元出售5万股。

如果交易活跃,以平均价格8元出售10万股。

如果交易温和,平均价格为10元,销售7.5万股。

我们知道你的成本在每股5.5元到7.5元之间平均为6.5元。 下一笔交易,净利润是多少?

【解】取1000个随机样本,每个样本有两个数值。 一种是证券成本(5.5元到7.5元之间的均等分布),另一种是现在的市场状况(闲散、活跃、温和,各有三分之一的可能性)。

在仿真计算中,平均净利润为92,427美元。 【注意】固定支出成本fixed costs=$120000,即( 4.5 *5+ 1.5 * 10 + 3.5 * 7.5 )/3-12 = 9.25 (万),需要12万。 最后减去这个数是正确的,网上的文章这个地方也是自己寻找的资料,翻译时忽略了。

【程序设计】在网络上,看到上面的程序设计,超过21万人,不降低固定成本的话,证券市场的问题就会出错。

#-* -编码: utf-8-* -

import random

def countProfit(n ) :

count = 0;

for i in range(n ) :

cost = random.uniform ( 5.5,7.5 )

pro = ( 11-cost ) *5+ (8- cost ) * 10 + ( 10-cost ) *7. 5

count += pro;

return count / (3*n )

print countProfit(400 )

关于蒙特卡罗模拟的用途,蒙特卡罗如何计算有软件。 例如,在证券的示例中,在每次1000次采样中,以均匀的分布随机地选择一个成本值,同时以1/3的概率选择市场情景,使用这两个参数来计算净利润、平均利润,将一千次相加来取平均。 1000次采样的技术本身当然是蒙特卡罗模拟,结果只是介绍了蒙特卡罗模拟的用途。

六、蒙特卡洛法( Monte CarloMethod )文献资料

6.1学术着作和实验室

1 .橡树岭国家实验室( oakridgenationallaboratory|ornl ).2.4.7 Monte Carl集成( ourfirstapplicationofmontecarl )3samplingfromprobabilitydistribution 3.2 transformationofpdf ' s.3.2.1 sanstringvainveriversionofthecdf.3.3 moreonsampling ...verena @ CSE P1.phy.ornl.gov ...网站: http://CSE P1

2 .《蒙特卡洛法》徐钟济着,上海科学技术出版社

3 .《科学计算中的蒙特卡罗战略》(现代科学前沿论丛) ( montecarlstrategiesinscientificcomputing ),作者:刘军,译者:唐年胜,周勇,徐亮

4 .统计物理学中的蒙特卡罗模拟方法(德)生成器,赫尔曼( Heermann,D.W.)着,北京大学出版社1994.2

5 .小型半导体器件的蒙特卡罗模拟,叶良修着,科学出版社1997.2

6 .蒙特卡洛法及其在粒子输运问题上的应用,佩鹿成,张孝泽着,科学出版社1980.10

7 .统计试验法:(蒙特卡罗法)及其在电子数字计算机上的实现(苏)、布雷恩科( optiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplastiplasti

6.2中文图书和网文

8 .高分子科学中的蒙特卡罗法,杨玉良,复旦大学出版社1993.127-309-01361-1

9.monteecorlarcollsamizeofsemicondimentiondevicesc.moglestue.cham man & amp; Hall,1993.041247770X

10.montecallcorsolessinstatisticalphysics和contributionsbyk.binder … ...

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